Расчет балки на изгиб методом начальных параметров

Повсеместное внедрение компьютеров в инженерную практику предопределяет проведение разных расчётов, в частности, балок на изгиб с использованием компьютерных технологий. Это значительно уменьшает время, расходуемое на выполнение вычислений, помогает избежать вычислительных ошибок и может использоваться при повторных расчётах. Широкое применение программ обработки электронных таблиц во многом объясняется универсальными возможностями их применения, поскольку без вычислений в широком смысле этого слова, не обойтись в самых разных сферах нашей жизни. Благодаря наличию мощных математических и инженерных функций в Microsoft Excel, можно решать множество задач в области естественных и технических наук. Применение табличного процессора Microsoft Excel позволяет автоматизировать как расчёт определяемых характеристик, так и построение их эпюр. Этот программный пакет достаточно широко распространён в инженерной среде, благодаря большим вычислительным возможностям, наличию вспомогательных приёмов наряду с простотой использования. В литературе встречаются указания на применение электронных таблиц Microsoft Excel для решения задач маркшейдерии, гидрогеологии строительной механики.
Совокупность методов, служащих для определения внутренних сил и выбора по ним прочных размеров частей сооружений и машин, составляет сущность инженерной дисциплины «Сопротивление материалов». Ясно, что они являются одной из главных составляющих в образовании инженеров любой строительной или механической специальности. Изучение изгиба представляет собой большую и сложную задачу, в которой немалую роль занимает этап исследования изогнутой оси балки и определение прогибов в наиболее характерных точках. Напряжения, возникающей в разных сечениях балки, зависят от величины изгибающего момента (М) и перерезывающей силы (Q) в соответствующих сечениях. При исследовании балок нужно знать величины M и Q в любом сечении. Изменение этих величин по всей длине балки удобнее всего представить графически. Линию, параллельную оси балки, принимают за ось абсцисс (x) и строят два графика, ординаты которых изображают для каждого сечения балки соответствующие значения M и Q. Эти графики называют эпюрами изгибающих моментов и перерезывающих сил. Для построения эпюр используют различные методы: по определенным опорным реакциям, способ сложения действия сил, непосредственное интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки, метод начальных параметров.
Целью выполняемой работы является расчёт методом начальных параметров балки, длинной , с жестко заделанными концами, выполненную из одного материала, нагруженную равномерной нагрузкой q = 35 кН.

МЕТОД НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ПРИ РАСЧЕТЕ БАЛКИ НА ИЗГИБ

В качестве исходного в методе начальных параметров применяется дифференциальное уравнение изгиба оси балки 4го порядка:

, где

EI - жесткость балки, v - прогиб, q - нагрузка.
Это уравнение устанавливает зависимость между прогибом балки v и внешней нагрузкой q, так что оказывается возможным найти изогнутую ось балки непосредственно по виду внешней нагрузки, не прибегая к предварительному её статическому расчету и не составляя выражения изгибающего момента по участкам. Решение уравнения имеет вид:

, где

С1, С2, С3, С4 - произвольные постоянные интегрирования,
Vнеодн (x) - частное решение неоднородного уравнения.
По сути метода начальных параметров произвольным постоянным интегрирования придан физический смысл, заключающийся в том, что погиб в начале координат есть постоянная С4, уменьшенная в EI раз, т.е. ; угол наклона оси балки в начале координат есть постоянная C3, уменьшенная в EI раз, т.е. ; изгибающий момент в начале координат есть постоянная C2 с противоположным знаком ; перерезывающая сила пост. С1 с противоположным знаком .
Введем обозначения:

1) Быкова О.Г. Информатика. Методические указания к выполнению курсовой работы для студентов специальности 130504.- СПб, 2007.- 44с.