Прикладная механика
Лабораторная работа
14 апр 2022
1 страниц

прикладные вычисления в теплоэнергетика

Лабораторная работа № 6
РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
1 Цель работы
Приобретение практических навыков решения нелинейных уравнений
методом Ньютона.
2 Программа работы
2.1 Изучение метода Ньютона решения нелинейных уравнений.
2.2 Составление вычислительной процедуры решения нелинейного
уравнения методом Ньютона в системе Mathcad.
2.3 Решение заданного нелинейного уравнения методом Ньютона
в системе Mathcad.
3 Методические указания
3.1 Общие сведения о решении нелинейных уравнений методом
Ньютона
Метод Ньютона, или метод касательных является одним из наиболее
применяемых методов уточнения корней, в одинаковой мере пригодных как
для решения алгебраических, так и трансцендентных уравнений (1).
Особенностью метода Ньютона является требование, чтобы
на отрезке [a, b], внутри которого нелинейное уравнение f(x) = 0 имеет один
корень, первая и вторая производные функции f(x) были определены,
непрерывны и сохраняли постоянные знаки.
Согласно методу Ньютона на интервале [a, b], как это показано
на рисунке 15, выбирается некоторое начальное приближение 0
x и к кривой
y = f(x) в точке 0
c с координатами ( , ( )
0 0 0
x y  f x проводится касательная,
уравнение которой имеет вид
( ) ( ) ( )
0 0 0
y  f x  f  x  x  x .
За очередное приближение корня уравнения (1) принимается абсцисса 1
x
точки пересечения касательной и оси 0x (y = 0):
( )
( )
0
0
1 0
f x
f x
x x

  .
45
y
f(x)
0 x2
x1 x0
a x* b x
c0
c1
c2
Рис. 15. Геометрическая интерпретация решения нелинейного
уравнения методом Ньютона
Через точку 1
c ( , ( )) 1 1 1
x y  f x вновь проводится касательная, и определяется абсцисса точки ее пересечения с осью 0x:
( )
( )
1
1
2 1
f x
f x
x x

  ,
принимаемая за новое приближение корня.
Аналогично находятся последующие приближения корня уравнения (1)
( )
( )
1
1
1




 
n
n
n n
f x
f x
x x . (10)
Итерационный процесс прекращается при выполнении условий
   ; f x n
( ) 100,
где






 


 


, 1.
, 1;
1
1
n n n
n
n
n n
x x x
x
x
x x
Начальное приближение корня 0
x выбирается из условия
( ) ( ) 0 f x0
 f  x0  .
В противном случае сходимость итерационного процесса не гарантируется. Чаще всего в качестве начального приближения выбирается
46
x  a 0
или x  b 0
в зависимости от того, какая из этих точек удовлетворяет
указанному условию.
Практически по формуле (10) корень уравнения (1) можно вычислить с любой, сколь угодно высокой точностью, если только корень x = x*
не есть кратный (т.е. f (x)  0 ) и если начальное приближение выбрано
достаточно близко к искомому корню x*.
Скорость сходимости метода Ньютона квадратичная.
Метод Ньютона эффективен для решения уравнений, у которых
значение модуля производной f (x) близ корня достаточно велико, т. е.
график функции y = f(x) в окрестности корня имеет большую крутизну.
Если же кривая y = f(x) вблизи точки пересечения с осью абсцисс почти
горизонтальна, то применять метод Ньютона не рекомендуется.
Пример 6. Плотность теплового потока на поверхности металла
в печи q  59 800 Вт/м
2
; температура поверхности металла Tм  1420 K;
коэффициент излучения системы «газ-кладка-металл»   3,7108
Вт/(м
2
K
4
); коэффициент теплоотдачи конвекцией   34 Вт/(м
2
K).
Тепловой поток связан с температурами металла Tм
и продуктов
сгорания газа Tс
в печи соотношением
( ) ( ) с м с м
4 4
q   T T   T T .
Определить температуру продуктов сгорания газа в печи Tс
с погрешностью   0,001. Начальное приближение температуры продуктов сгорания газа в печи принять равным Tс0  1 600 K.
Протокол расчета приближенного значения температуры продуктов
сгорания газа в печи Tс
в виде документа Mathcad представлен на рисунке 16.
4 Задание для самостоятельной работы
Определить методом Ньютона с погрешностью   0,001 простой
действительный корень нелинейного уравнения, которое выбирается
из таблицы 8 в соответствии с вариантом.
Решение заданного уравнения оформить в виде в документа Mathcad,
в котором предусмотреть процедуру отделения корней уравнения графическим или табличным способом с последующим уточнением одного
простого действительного корня методом Ньютона с помощью программного модуля. Для выбранного начального приближения корня проверить
условие сходимости итерационного процесса.
47
РАСЧЕТ ТЕМПЕРАТУРЫ ПРОДУКТОВ СГОРАНИЯ ГАЗА В ПЕЧИ
Исходные данные
1. Плотность теплового потока на поверхности металла
в печи
q 59800
W
m
2

2. Температура поверхности металла Tм
 1420K
3. Коэффициент излучения системы "газ-кладка-металл"  3.7 10 8

W
m
2
K
4

 
4. Коэффициент теплоотдачи конвекцией  34
W
m
2
K
 
5. Начальное приближение температуры продуктов
сгорания газа
Tс0
 1600K
6. Погрешность вычисления температуры продуктов
сгорания газа
  0.001
Решение
1. Уравнение, связывающее плотность теплового потока
с температурами продуктов сгорания газа и поверхности металла
f T с q  Tс
4

4
     Tс

    
2. Первая производная функции f T с f1 T с 4 Tс
3
   
3. Расчет температуры продуктов сгорания газа

 р  100
Tсk
Tс0
f T с0
f1 T с0
 
 р
100
Tсk
Tс0

Tсk
 
Tс0
T  сk
 р while  
Tсk

4. Значение температуры продуктов сгорания газа Tс
 1536.597K
Рис. 16. Рабочий документ Mathcad с расчетом приближенного
значения температуры продуктов сгорания газа в печи
48
Т а б л и ц а 8
Вариант Уравнение Вариант Уравнение
1 2 7 3 0,6 0
3 2
x  x  x   11 2 7,1 5 0
3 2
x  x  x  
2 3 18 1,4 0
3 2
x  x   12 0,7 3 9 11 0
3 2
x  x  x  
3 5 0,8 0
3 2
x  x   13 4 3 0,9 0
3 2
x  x  x  
4 7 3 10 0,5 0
3 2
x  x  x   14 0,3 4 0,2 0
3 2
x  x  x  
5 3 2 0,7 0
4 2
x  x  x   15 7 1,9 0
3
x  x  
6 5 35 1,2 0
3
x  x   16 2,7 0,5 9 0
3 2
x  x  
7 4 5,5 7 0
3 2
x  x   17 2,7 5,2 4 0
5 3
x  x  
8 3 4 6 0
5 3
x  x   18 4 3 0
5 4
x  x  x  
9 4 7 6 2 0
5 4
x  x  x   19 6 9 2,7 0
3 2
x  x  x  
10 1,1 8 9 5 0
3 2
x  x  x   20 5 8 0,2 0
4 2
x  x  x  
5 Требования к отчету
Отчет о лабораторной работе должен содержать титульный лист,
цель и программу работы, задание, протокол решения нелинейного уравнения методом Ньютона в виде документа системы Mathcad, который
следует сохранить на компьютере в личной папке студента.
Контрольные вопросы
1. Какие требования предъявляет метод Ньютона к нелинейным
уравнениям?
2. Напишите итерационную формулу решения нелинейного уравнения
методом Ньютона.
3. Сформулируйте условие сходимости итерационного процесса при
решении нелинейного уравнения методом Ньютона.
4. Какую скорость сходимости имеет метод Ньютона?
5. Какова геометрическая интерпретация метода Ньютона?
6. Можно ли использовать метод Ньютона для решения трансцендентных уравнений?

Лабораторная работа № 8
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
1 Цель работы
Приобретение практических навыков вычисления интегралов
методом Симпсона.
2 Программа работы
2.1 Изучение метода численного интегрирования Симпсона.
2.2 Составление вычислительной процедуры численного интегрирования методом Симпсона в системе Mathcad.
2.3 Вычисление заданного интеграла методом Симпсона в системе
Mathcad.
3 Методические указания
3.1 Общие сведения
Решение различных научно-технических задачах связано с интегрированием функций. Вычисление площадей и объемов, определение центра
и моментов инерции тел, расчет произведенной работы и другие задачи
приводят к интегрированию функций. Геометрический смысл простейшего
определенного интеграла от неотрицательной функции f (x)  0
 
b
a
I f (x)dx ,
как известно, состоит в том, что его значение численно равно площади
фигуры (криволинейной трапеции), ограниченной кривой y  f (x), осью
абсцисс и прямыми x  a , x  b .
Разделим отрезок [a, b] точками x a x x x b 0  ,
1
,
2
,, n  на четное
число частей n  2m, (здесь m  1, 2, 3, …). Площадь криволинейной
трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [ , ]
0 1
x x , [ , ]
1 2
x x
и ограниченной заданной кривой y  f (x), может быть приближенно
определена, если подынтегральную функцию аппроксимировать квадратичной параболой, проходящей через эти три точки и имеющей ось, параллельную оси 0y. Уравнение такой параболы имеет вид
y  Ax  Bx  C
2
. (13)
55
Известно, если криволинейная трапеция ограничена параболой (13),
осью 0x и двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2h,
то ее площадь равна
( 4 )
3
0 1 2
y y y
h
S    , (14)
где 0
y и 2
y – крайние ординаты; 1
y – ордината кривой в середине отрезка.
Использование выражения (14) позволяет составить следующие
приближенные равенства (h  x)
( 4 );
3
( )
0 1 2
2
0
y y y
x
f x dx
x
a x
 

 

( 4 );
3
( ) 2 3 4
4
2
y y y
x
f x dx
x
x
 

 
…………………………...
( 4 ).
3
( )
2 2 2 1 2
2
2 2
m m
m b
m
y y y
x
f x dx m
x
x
 

 


 
Суммирование левых и правых частей этих равенств приводит
к выражению, левая часть которого содержит искомый интеграл, а правая –
его приближенное значение
( 4 2 4 2 4 )
3
( )
0 1 2 3 2 2 2 1 2
2
0
m m
y y y y y y y
x
f x dx m
x
a x
      

  

  .
Объединение под знаками соответствующих сумм слагаемых
с нечетными и четными индексами приводит к формуле Симпсона
( 4 2 )
3
( ) 2
1
1
2
1
0 2 1 m
y y y y
x
f x dx
m
i
i
m
i
i
b
a
  

   

 

.
Пример 8. Существует предельное (критическое) значение параметра
вдува, характеризующего интенсивность массообмена, при котором коэффициенты трения, теплообмена и массообмена становятся равными нулю.
Критическое значение параметра вдува рассчитывается по формуле [1]
56
2
1
ст 0
кр 





  


 
b d ,
где , ст – плотность среды в потоке и на стенке соответственно, кг/м
3
;
 – относительная скорость.
Найти значение критического параметра вдува при   600 кг/м
3
и ст  800 кг/ м3
.
Протокол расчета критического значения параметра вдува в виде
документа Mathcad представлен на рисунке 18.
4 Задание для самостоятельной работы
Вычислить определенный интеграл 
b
a
f (x)dx методом Симпсона.
Вид функции f (x) и границы интервала интегрирования [a, b] выбирается
из таблицы 11 в соответствии с вариантом.
5 Требования к отчету
Отчет о лабораторной работе должен содержать титульный лист,
цель и программу работы, задание, протокол вычисления заданного определенного интеграла в виде документа системы Mathcad, который следует
сохранить на компьютере в личной папке студента.
5 Контрольные вопросы
1. Назовите задачи, решение которых связано с вычислением определенных интегралов.
2. Чему численно равно значение определенного интеграла?
3. Почему методом Симпсона можно определить только приближенное значение определенного интеграла?
4. Какой кривой ограничивают криволинейную трапецию при
вычислении определенного интеграла методом Симпсона?
5. Как определить площадь криволинейной трапеции, ограниченной
квадратичной параболой?
6. Опишите процедуру вычисления определенного интеграла методом
Симпсона.
57
РАСЧЕТ КРИТИЧЕСКОГО ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРА ВДУВА
Исходные данные
1. Плотность среды в потоке  п
600
kg
m
3
 
2. Плотность среды на стенке 
с
800
kg
m
3
 
3. Подынтегральная функция f( )  
4. Начальное и конечное значения
относительной скорости потока  н
 0  к
 1
5. Количество интервалов интегрирования n  300
Решение
1. Программный модуль расчета
определенного интеграла
методом Симпсона
I 
 к
 н

n

Sн  0
Sч  0


f  н     i 
for i 1 3 n  1


f  н     i 
for i 2 4 n  2

3
f  н 4 Sн
  2 Sч
  f     к

2. Значение определенного
интеграла
I  0.667
3. Критическое значение
параметра вдува

 п
 с
I






2
  0.333
4. Проверка правильности расчета с использованием
символьного вычисления определенного интеграла

 п

с  н

к
 



 d








2
  0.333
Рис. 18. Рабочий документ Mathcad с расчетом критического
значения параметра вдува
58
Т а б л и ц а 11
Вариант f(x) [a, b] Вариант f(x) [a, b]
1
3
2 x  7x [1, 3] 11 3
5 x  3x [3, 5]
2 2
3 2
42
x  x
[2, 5] 12 2
4 3
10
x  x
[1, 3]
3
x
4x 3x
2

[3, 4] 13
x
x 7x
2

[3, 4]
4 2
4
3
2 7
x
x  x
[2, 8] 14
x x
x x
2 8
3 5
2
3


[2, 8]
5 4 5
2
x  [3, 9] 15 (7 2 )
2
x x  x [3, 5]
6 5 2
2
x x  [1, 5] 16 3 4 2
(2 5 )

x  x [2, 3]
7
2 3 3
(3 2 )

x  x [1, 3] 17 2 3 3
(4x  x ) [0, 2]
8
2 2
(2x  4 x) [2, 4] 18 x 6x  2 [2, 4]
9
x
x x x
3
2 5
4 3 2
 
[2, 5] 19 3
4 3 2
7
3 5 2
x
x  x  x
[2, 5]
10 3 2
5 3
2
3
x x
x x x

 
[1, 5] 20
3 1
7


x
x
[2, 4]

Ph. Ivanov Ph. Ivanov
2000 р