Научная статья по численным методам

ФРАГМЕНТ

ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ
1.1) КРАТКАЯ СПРАВКА
Уравнения, в которых неизвестная функция или векторная функция находится под знаком производной или дифференциала, называются дифференциальными уравнениями. Дифференциальные уравнения возникают всякий раз, когда известна или постулируется детерминированная связь между некоторыми непрерывно изменяющимися величинами (моделируемыми функциями) и скоростями их изменения в пространстве и/или времени (выражаемыми производными). Поскольку такие соотношения чрезвычайно распространены, дифференциальные уравнения играют важную роль во многих дисциплинах, включая инженерное дело, физику, экономику и биологию.
Взаимодействующие физико-биологические динамические процессы в море имеют центральное значение для фундаментальных и прикладных исследований во многих областях междисциплинарной науки об океане, включая, например, динамику экосистем и биогеохимических циклов. Три основных интерактивных процесса - это физиологическая термодинамика, диффузия и перемешивание, а также адвекция. Данное исследование сосредоточено на адвективном процессе и пытается обеспечить идеализированную общую теоретическую основу для исследования эффектов различных феноменологических полей потока, которые происходят в океане в широком диапазоне временных и пространственных масштабов. Она призвана дополнить соответствующие исследования процессов, основанные на экспериментах и моделировании.

Электрический заряд проходит через цепь, обычно содержащую источник напряжения, резистор, конденсатор и индуктор. Батарея является источником постоянного напряжения; генератор
переменное (обычно синусоидальное). Произвольно выбранное направление вокруг цепи (скажем, по часовой стрелке или против часовой стрелки) принимается за положительное направление. Противоположное направление рассматривается как отрицательное.
Прототипный ИВП, моделирующий цепь L R
L*dI/dT+ RI = E, I(0) = I0
Система Лоренца - это система обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнения Лоренца), впервые изученная Эдвардом Лоренцем. Она примечательна тем, что имеет хаотические решения при определенных значениях параметров и начальных условиях. В частности, аттрактор Лоренца - это набор хаотических решений системы Лоренца, которые при построении графика напоминают бабочку или восьмерку. Модель представляет собой систему из трех обыкновенных дифференциальных уравнений, известных сегодня как уравнения Лоренца:
dx/dt= (y-x)
dy/dt=x( -z)-y
dz/dt=xy- z
Радиоактивное вещество распадается со скоростью, пропорциональной его массе. Эта скорость называется скоростью распада. Если m(t) представляет собой массу вещества в любой момент времени, то скорость распада dm/dt пропорциональна m(t). Напомним, что период полураспада вещества − это время, за которое оно распадается до половины своей первоначальной массы. Тогда скорость распада моделируется следующим образом
dm/dt= - km
где знак минус указывает на то, что масса уменьшается.


Маятник - это груз, подвешенный на шарнире так, чтобы он мог свободно раскачиваться. Когда маятник смещается в сторону из положения равновесия, на него действует восстанавливающая сила, обусловленная гравитацией, которая ускоряет его возвращение в положение равновесия. Когда маятник отпускают, восстанавливающая сила в сочетании с массой маятника заставляет его колебаться вокруг положения равновесия, раскачиваясь вперед-назад. Время одного полного цикла - качания влево и качания вправо - называется периодом. Период зависит от длины маятника, а также от амплитуды колебаний. Однако, если амплитуда мала, период почти не зависит от амплитуды.
Физическая ситуация, связанная со скоростью изменения одной величины по отношению к другой, приводит к дифференциальному уравнению.
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка
dy/dx= f (x, y) , y(x0) = y0 -------------------------------------------(1)
Для решения таких уравнений существует множество аналитических методов, но эти методы могут быть применены для решения только избранного класса дифференциальных уравнений Однако большинство дифференциальных уравнений, возникающих в физических задачах, не могут быть решены аналитически. Поэтому становится необходимым обсудить их решение численными методами.
При использовании численных методов мы не надеемся найти связь между переменными, а находим числовые значения зависимой переменной для определенных значений независимой переменной. Следует отметить, что даже те дифференциальные уравнения, которые решаются аналитическими методами, могут быть решены и численно.
Задачи, в которых все условия заданы только в начальной точке, называются задачами с начальными значениями. Например, задача, заданная уравнениями. (1) является задачей с начальным значением.
Чтобы получить единственное решение обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка, необходимо задать n значений зависимой переменной и/или ее производной при определенных значениях независимой переменной.
1.2) ПРОШЛАЯ РАБОТА
- 1768 - Леонгард Эйлер публикует свой метод. Метод Эйлера является методом первого порядка, что означает, что локальная ошибка (ошибка на шаг) пропорциональна квадрату размера шага, а глобальная ошибка (ошибка в данный момент времени) пропорциональна размеру шага. Метод Эйлера часто служит основой для построения более сложных методов.
- 1895 - Карл Рунге публикует первый метод Рунге-Кутты. В численном анализе методы Рунге-Кутты являются важным семейством неявных и явных итерационных методов, которые используются при временной дискретизации для аппроксимации решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти методы были разработаны около 1895 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Кутта.
- 1905 год - Мартин Кутта описывает популярный метод Рунге-Кутты четвертого порядка - этот метод позволяет минимизировать ошибку в уравнении.