Готовая работа "Математика и основы моделирования социально-экономических процессов"

Примеры решения задач
1. Корреляционный анализ
Корреляционный анализ является одним из статистических методов построения экономико-математических моделей, основанный на определении статистической зависимости между факторов. Он применяется при принятии управленческих решений в условиях неполной информации об экономической системе и опирается на случайные наблюдения, выбранные из генеральной совокупности, распределенной по многомерному нормальному закону.
Задачи корреляционного анализа:
а) измерение степени связи (тесноты, силы, строгости, интенсивности) двух и более явлений;
б) отбор факторов, оказывающих наиболее существенное влияние на результативный признак, на основании измерения степени связности между явлениями;
в) обнаружение неизвестных причинных связей.
Корреляция непосредственно не выявляет причинных связей между явлениями, но устанавливает достоверность суждения об их наличии. Причинный характер связей выясняется при помощи логики и профессиональных рассуждений.
Дополнительная задача корреляционного анализа (являющаяся основной в регрессионном анализе) состоит в оценке уравнения регрессии.
Простая корреляция. Коэффициент простой корреляции характеризует тесноту линейной связи между двумя случайными величинами Х=Х(Y,Z) и Y=Y(X,Z), где Z - набор внешних случайных факторов.
  cor( X ,Y )  cov( X ,Y ) , (1)

xy S
n

x  S y

где cov( X ,Y )  ( xi  x )( yi  y ) - ковариация двух случайных величин, определяющая
i1
среднее произведений отклонений для каждой пары точек данных; 𝑆𝑥и 𝑆𝑦 - средние

∑𝑛

(𝑥𝑖−𝑥̄)2

квадратические отклонения случайных величин Х и Y: 𝑆𝑥 = √

𝑖=1 .
𝑛

Коэффициент корреляции изменяется в пределах [-1;1]: а) 𝜌𝑥𝑦 > 0 - положительная корреляция, т.е. увеличение случайной величины Х приводит к росту среднего значения случайной величины Y; б) 𝜌𝑥𝑦 < 0 - отрицательная корреляция, т.е. увеличение случайной величины Х приводит к уменьшению среднего значения случайной величины Y; в) 𝜌𝑥𝑦 = 0
- нулевая корреляция, т.е. увеличение случайной величины Х не меняет среднее значение случайной величины Y.
Множественная корреляция. Если мы имеем N случайных величин: X1, X2 , X3 ,..., XN , то корреляционная матрица, состоящая из парных коэффициентов корреляции, определена следующим образом:

 1 12

13

...

1N 

  1  ...  

R  

21 23 2 N  , (2)
... ... ... ... ... 

   ... 1 
 N 1 N 2 n3 
где ij   ji , т.е. матрица симметрична.
Для корреляционного анализа используют:
1) парный коэффициент корреляции ij характеризует тесноту связи между Xi и
X j величинами на фоне влияния остальных (N-2) величин.
Рассчитывается по формуле (1).

2) частный коэффициент корреляции 12/ 34...N , который характеризует тесноту связи между величинами X1 и X 2 при фиксированных значениях остальных (N-2) переменных, т.е. при исключении влияния (N-2) величин.

12 / 34...N  

R12

, (3)


где Rij - алгебраическое дополнение соответствующего элемента матрицы R.
Например, если 12/ 34...N =0,8; а 12 = 0,2, значит влияние остальных величин ослабляет зависимость между X1 и X 2 .
3) множественный коэффициент корреляции 1/ 23...N характеризует тесноту
линейной связи между Х1 и остальными переменными, входящими в модель.


1/ 23...N 

, |R| det R

(4)


4) парный коэффициент детерминации 𝑅2 - доля вариации случайной величины Xi

, обусловленная вариацией величины X j .
𝑅2 = 𝜌2 = Объясненная вариация, связанная с 𝑋2)


(5)

12 12

Общая вариация

5) множественный коэффициент детерминации 𝑅2 - характеризует долю вариации (дисперсии) X1 , объясняемую влиянием X 2 ,X 3 ,...,X N , т.е. факторами, входящими в модель.
𝑅2 = 𝜌2
1/23..𝑁 1/23...𝑁
У показателя 𝑅2 есть недостаток, состоящий в том, что большие значения коэффициента детерминации могут достигаться благодаря малому числу наблюдений. Нормированный 𝑅2 обеспечивает информацией о том, какое значение вы могли бы получить в другом наборе данных значительно большего объема, чем в данном случае.
𝑅2 = 1 − (1 − 𝜌2 ) 𝑛−1 ,

норм

𝑛−𝑘−1

где k– количество факторных переменных.

Пример решения задачи 1.
Решим задачу: На основании выборочных данных по 20 туристическим фирмам о затратах на рекламу (Х) и количества туристов, воспользовавшихся услугами фирмы (Y), представленных в таблице, определите коэффициента парной корреляции и его значимость. Уровень значимости равен 5%.
X 8,1 8,2 8,6 9,2 9,4 9,5 9,8 9,9 10,1 10,3
Y 800 850 720 850 800 880 950 820 900 1000
X 10,4 10,5 10,6 11,2 11,3 11,7 11,9 12,4 12,5 12,7
Y 920 1060 950 900 1200 1150 1000 1200 1100 1000

Решение:
1. Коэффициент корреляции. Предполагаем, что количество туристов, воспользовавшихся услугами фирмы (Y), зависят от затрат на рекламу (Х), тогда строим модель 𝑌̃=f(X). Средствами MS Excel данную задачу можно решить с помощью статистических функций:
rxy  КОРРЕЛ(массив X, массив Y)=0,794.
2. Значимость коэффициентов. Определим значимость коэффициента корреляции:
𝐻0: 𝜌 = 0

𝑡 = 𝑟
√1−𝑟2

√𝑛 − 2 = 0,794
√1−0,7942



√20 − 2 = 5,543

𝑡𝑘𝑝 = 𝑆𝑡−1(𝛼, 𝑛 − 2) =СТЬЮДРАСПОБР(0,05;20-2)=2,1, т.к. |𝑡набл| > 𝑡𝑘𝑝, то коэффициент корреляции значим и между случайными величинами Х и Y существует статистическая связь.
Определим значимость коэффициента регрессии:
𝐻0: 𝛽𝑌𝑋 = 0
(𝑛−1)⋅𝑆2 (20−1)⋅1,3852

𝑡набл = 𝑏𝑌𝑋√ 𝑥 = 78,08√
𝑒

85,062

= 5,542,

𝑡𝑘𝑝 = 𝑆𝑡−1(𝛼, 𝑛 − 2) =СТЬЮДРАСПОБР1(0,05;20-2)=2,1, т.к. |𝑡набл| > 𝑡𝑘𝑝, то коэффициент регресии значим и модель регрессии значимо описывает экспериментальные данные.
Пример решения задачи 2.
Решим задачу: Для вычисления взаимозависимости между себестоимостью 1т песка (Z), сменной добычей песка (Y) и фондоотдачей (Х) было обследовано 8 карьеров. В результате получены следующие данные:
X 30 20 40 35 45 25 50 30
Y 20 30 50 70 80 20 90 25
Z 20 25 20 15 10 30 10 20
Вычислить а) матрицу выборочных парных коэффициентов корреляции и проверить их значимость при  =5%.
Решение:
а) Для получения корреляционной матрицы воспользуемся макрофункцией
«Корреляция» пакета «Анализ данных». Введем во входной интервал массив данных, включая названия строк, например, (А1:I3). Отметим, что группирование идет по строкам, и поставим флажок в графе «Метки в первом столбце». Укажем имя левой верхней ячейке в графе «Выходной интервал» (рис. 1.).

Рис. 1. Макрофункция «Корреляция».

Выходная область (А5:D8) содержит корреляционную матрицу (рис. 2.). Т.к. корреляционная матрица симметрична относительно главной диагонали, то можно треугольную матрицу достроить симметрично главной диагонали.

1 0,871
R  0,871 1

 0,874
 0,879

 0,874  0,879 1
1 СТЬЮДРАСПОБР(α;n-2)=СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(α;n-2)


Рис. 2. Корреляционная матрица

Для определения значимости парных коэффициентов корреляции воспользуемся формулами задачи 1 или определим коэффициент парной корреляции, начиная с которого будет выполняться неравенство:|𝑡набл| > 𝑡𝑘𝑝 = 𝑆𝑡−1(𝛼, 𝑛 − 𝑁). Вычислим tнабл по формуле аналогично задаче 1 относительно произвольного коэффициента корреляции и найдем
𝑡𝑘𝑝 = 𝑆𝑡−1(𝛼, 𝑛 − 𝑁) = СТЬЮДРАСПОБР(0,05; 8 − 2) = 2,447 (рис. 3). С помощью функции «Подбор параметра» (рис. 3) найдем минимальное значение парного коэффициента корреляции, начиная с которого все парные коэффициенты корреляции будут значимы.




Рис. 3. Нахождение минимального значимого парного коэффициента корреляции Минимальное значение парного коэффициента получилось равным 0,707, значит все
элементы корреляционной матрицы, стоящие вне главной диагонали, больше этого значения являются значимыми. Для наглядности выделим значимые коэффициенты корреляции жирным шрифтом (рис. 2).