Числовые системы

Задача №1.
1. Применяя определение разности натуральных чисел, доказать равенство
a − (b − c) = (a + c) −b ,
если все разности существуют.
2.
(a −b) − (c + d) = (a − c) − (b + d).
3.
(a −b)(c + d) = (ac − ad) − (bc + bd) .
4.
(a −b)(c − d) = (ac + bd) − (ad + bc) .
5. Применяя определение суммы нескольких натуральных чисел, доказать равенство
   =
+
=
+
=
+ =
m
i
m n
i
n i i
n
i
ai a a
1 1 1
.
6.
   = = =
+ = +
n
i
n
i
i i i
n
i
ai b a b
1 1 1
( ) .
7. Применяя определение произведения нескольких натуральных чисел, доказать равенство
   =
+
=
+
=
 =
m
i
n m
i
n i i
n
i
ai a a
1 1 1
.
8.
   = = =
 = 
m
i
n
i
i i i
n
i
ai b a b
1 1 1
( ) .
9. Применяя определение степени, доказать, что для любых натуральных чисел
a, b, n
справедливо равенство
n n n
(ab) = a b .
10. Применяя определение суммы нескольких натуральных чисел, доказать равенство:
  = =
 = 
n
i
i
n
i
a bi a b
1 1
( ) .
11.
−
 =
n
i
a n a
1
.
12. Доказать, что для любых натуральных чисел
a, m, n
m n
(1 a)(m  n) a  a .
13. Доказать, что уравнение
2
2
x =
не имеет решений в натуральных числах.
14.
3x + 2 = 4.
15.
6
2 2
x + y = .
16.
2x +1= 2y .
17. Доказать, что если разность натуральных чисел «а» и «в» существует, то она единственна.
18. Применяя определение разности натуральных чисел, доказать равенство:
(a −b) + c = (a + c) −b ,
если эти разности существуют.
19. Применяя определение разности натуральных чисел, доказать равенство:
a −b = c −d a + d = b +c,
если эти разности существуют.
20. Применяя определение разности натуральных чисел, доказать равенство:
(a + b) + (c + b) = a − c ,
если эти разности существуют.
21.
a − (b + c) = (a −b) − c .
22.
(a − b) + (c − d) = (a + c) − (b + d).
23.
(a −b) − (c −b) = a − c .
24.
(a + b) − (b − c) = a + c .
25. (a −b) − (c − d) = (a + d) − (b + c).
Задача №2.
1. Решить в натуральных числах уравнение
2 12 2 2
x + y = .
2.
x + y + z = x y z.
3. Доказать, что уравнение
x− y = x y
не имеет решений в натуральных числах.
4.
2 2
x = 2y .
5. Применяя определения разности натуральных чисел, доказать равенство:
a − b = a + b − ab   
( ) ( ) ,
если все разности существуют.
6.
a − b = (a − b)(a + b)
 
.
7. Применяя определение разности натуральных чисел, доказать:
a  b  a − c  b − c ,
если все разности существуют.
8.
a  b  c −b  c − a .
9. Решить в натуральных числах неравенство:

x +   x .
10. Доказать, что если частное от деления натуральных чисел существует, то оно
единственно.
11. Доказать, что для любых натуральных чисел «а» и «в», больших 1,
a
b
a

, если частное
существует.
12. Решить в натуральных числах неравенство:
  +

x x .
13. Применяя определение частного натуральных чисел, доказать равенство:
c
ab
c
b
a  = ,
если все частные существуют.
14.
bd
ac
d
c
b
a
 = .
15. Применяя определение частного натуральных чисел, доказать:
ad bc
d
c
b
a
=  = ,
если все частные существуют.
16. Применяя определение частного натуральных чисел, доказать равенство:
b
ac
c
b
a
= ,
если все частные существуют.
17. Решить в натуральных числах неравенство:
x
y
x
 .
18. Применяя определение частного натуральных чисел, доказать равенство:
bc
ac
b
a
= ,
если все частные существуют.
19. Применяя определение частного натуральных чисел, доказать:
c
b
c
a
a  b   ,
если все частные существуют.
20.
a
c
b
c
a  b   .
21.
m n
n
m
a
a
a
h m
−
  = .
22. Доказать, что уравнение
x = ax +b

, где
a,b N
, не может иметь двух различных
натуральных решений.
23. Решить в натуральных числах уравнение:
  
x + (x +) = (x + ) .
24.
x + y = x  y .
25.
= 
−

y
x y
.
Задача №3. Доказать методом математической индукции. В какой форме использовался
принцип индукции?
1. Число
1 2 1 7 8 n n + − +
делится на 19 при любом натуральном
n n , 1. 
2. Число
5 3 2 n n − + n
делится на 4 при любом натуральном
n.
3. Число
3 2 3 1 5 2 3 n n − −  +
делится на 19 при любом натуральном
n n , 1. 
4. Число
2 1 6 19 2 n n n+
+ −
делится на 17 при любом натуральном
n n , 1. 
5. Число
2 1 2 2 9 21 14 n
n n
−
− + − делится на 27 при любом натуральном
n n , 1. 
6. Последовательность
an
определена следующим образом:

1
0 1 1 1, 2, .
2
n n
n
a a
a a a −
+
+
= = =
Доказать, что общий член этой последовательности вычисляется по формуле:

1
1
5 1 ( 1) .
3 3 2
n
n n
a
−
−
= + − 

7. Последовательность
an
определена следующим образом:

0 1 1 1 0, 1, .
n n n
a a a a a = = = + + −
Доказать, что

1 2 3 ( 1) . n
n n n n
a a a a + + +
 −  = −

8. Последовательность
an
определена следующим образом:

1 1 4, 3 2.
n n
a a a = = −
+
Доказать, что общий член этой последовательности вычисляется по формуле:
3 1. n
n
a = +
9. Последовательность
an
определена следующим образом:

1 1
14 1 , (27 32).
3 3 n n
a a a = = + +
Доказать, что общий член этой последовательности вычисляется по формуле:

2
(9 2).
3
n
n
a = −
10. Последовательность
an
определена следующим образом:

1 2 2 1 1, 9, 9 20 .
n n n
a a a a a = = = −
+ +
Доказать, что общий член этой последовательности вычисляется по формуле:
5 4 . n n
n
a = −
11. Последовательность
an
определена следующим образом:

1 2 2 1 3, 15, 5 4 .
n n n
a a a a a = = = −
+ +
Доказать, что общий член этой последовательности вычисляется по формуле:
4 1. n
n
a = −
12. Последовательность
an
определена следующим образом:

1 2 2 1 29, 85, 5 6 .
n n n
a a a a a = = = −
+ +
Доказать, что общий член этой последовательности вычисляется по формуле:

2
2 3 . n n
n
a
+
= +
13. 2+16+56+…+
1
(3 2) 2 10 (3 5) 2 n n
n n
+
−  = + − 
при любом натуральном
n n , 1. 
14. 5+45+325+…+
1
(4 1) 5 5 n n
n n
−
+  = 
при любом натуральном
n n , 1. 
15.
2 2 1 7 17 2 1
...
1 3 3 5 5 7 (2 1)(2 1) 2 1
n n
n n n
−
+ + + + =
   − + +
при любом натуральном
n n , 1. 
16.
1 7 3 9 5 11 (2 1)(2 5) (6 1)
...
3 5 5 7 7 9 (2 1)(2 3) 3(2 9)
n n n n
n n n
   − + +
+ + + + =
   + + +
при любом натуральном
n n , 1. 
17.
1
3 20 168 ... (2 1) 2 ! 2 ( 1)! 1 n n
n n n
−
+ + + + +   =  + −
при любом натуральном
n n , 1. 
18.
2 3
1 2 3 ( 2)! 2! 3! 4! ... ( 1)! 2
2 2 2 2 2 n n
n n
n
+
 +  + + + + = −
при любом натуральном
n n , 1. 
19.
5 7 3 n
 −n при любом натуральном
n.
20.
1
2 ( 1) n
n n
−
 +
при любом натуральном
n n , 7. 
21.
3 2 n n  + n при любом натуральном
n.
22.
2
4 3 n n  + n при любом натуральном
23.
4 3 2 n n n  + при любом натуральном
n n , 2. 

1 2
1 2
1 2 1 2 1 3 1 1 2
24. ( )( )...( )
( ... ) ( ... ) ... ...
n
n n n
n n n n
x a x a x a
x a a a x a a a a a a x a a a
− −
−
+ + + =
= + + + + + + + + + +
при любом натуральном
n n , 1. 
25.
1
2 ( ) ( ) n n n n a b a b −
+  +
при любом натуральном
n n a b , 1, , 0.  

Задача №4.
1. Пусть
K - множество матриц вида
aE
, где
E - единичная матрица n-ого порядка,
a R.
На этом множестве задано бинарное отношение
aE K bE  a R b
. Является ли
алгебраическая система
K K
;+,

,
упорядоченным кольцом?
2. Пусть
K;+,

, - упорядоченное кольцо. Доказать, что для любых
a,b, c K
a  b  a −b  .
3.
a  b  −b  −a .
4. Пусть
K;+,

, - упорядоченное кольцо. Доказать, что для любых
a,b,c K
a + c  b + c  a  b.
5. Пусть
K;+,

, - упорядоченное кольцо. Доказать, что для любых
a,b,c,d K
(  b)(  c)((a  b)(c  d)ac  bd).
6.
a + b  c + d  a − c  d −b.
7. Пусть
K;+,

, - упорядоченное кольцо. Доказать, что для любых
a
,a
,..., an K
=    =  = = = 
=
  n
n
i
ai a a ... a .
8. Пусть
P;+,

, - упорядоченное поле. Доказать, что для любых
aP,
−
  a   a .
9.
( ) ( ) ( )

a    e  a  a  a
, где
e - единица поля
P .
10.
(  a  e)  (a  a)

, где
e - единица поля
P .
11. Доказать, что в упорядоченном кольце
K;+,

,
выполняется закон сокращения, то есть
для любых
x, y,aK
:
(a  )((ax = ay)(xa = ya)) x = y .
12. Доказать, что в упорядоченном кольце
K;+,

,
для любых
a,bK
и любого целого
n ,
nN , a  b  nb  na
, где
na - кратное.
13. Доказать, что в упорядоченном кольце
K;+,

,
для любых
a,bK
и любого целого
n ,
n   , na = nb a = b
, где
na - кратное.
14. Доказать, что в упорядоченном кольце
K;+,

,
для любых
a,bK
и любого целого
n N , n   , ( ) ( ) ( )
n n
  a    b  a  b  a  b .
15.
( ) ( ) ( )
n n
  a    b  a = b  a = b .
16.
( ) ( ) ( )
n n
a b a b b a
 
         .
17.
 +  +
  
n n
(a b) a b .
18. Доказать, что в упорядоченном кольце
K;+,

,
для любого
aK
и любого целого
n ,
na = (n = )(a = )
, где
na - кратное.
19. Доказать, что в упорядоченном кольце
K;+,

,
для любого
aK , a  
и любых
различных
n,m Z , имеет место
na  ma
, где
na - кратное.
20. Доказать, что всякое упорядоченное кольцо бесконечно.
21. Доказать, что в упорядоченном кольце
K;+,

,
с единицей
e
для любого
aK , a  
и любого
n N
:
e a e na
n
( + )  + .
22. Доказать, что в упорядоченном кольце
K;+,

,
для любых
a,b,c,d  K , (a  b  c  d)c −b  d −a.
23. Доказать, что в упорядоченном кольце нет делителей нуля.
24. Доказать, что для упорядоченного кольца
K;+,

,
следующие условия равносильны:
• Множество всех положительных элементов
+ K
содержит наименьший элемент;
• Для любого
aK
существуют такие
b,c K
, что
b  a  c
, причем для любого
xK
:
( ) ( ).
( ) ( );
a x c a x x c
b x a b x x a
   =  =
   =  =
25. Доказать, что для упорядоченного кольца
K;+,

,
следующие условия равносильны:
• Множество всех положительных элементов
+ K
не обладает наименьшим элементом;
• Для любых
a,b K , a  b
, существует такой
cK
, что
a  c  b .
Задача №5.
1. Привести пример ограниченного сверху подмножества из
Q
, которое не обладает
наибольшим элементом.
2. Привести пример ограниченного снизу подмножества из
Q
, которое не обладает
наименьшим элементом.
3. Доказать, что кольцо
Z
дискретно, то есть для любого
aZ
существуют такие
b, c Z ,
что
b  a  c
, причем для любого
xZ
:
( ) ( ).
( ) ( );
a x c a x x c
b x a b x x a
   =  =
   =  =
4. Доказать, что для любых
a,b Z , a  
, множество
A = k Z ka  b
непусто и
обладает наименьшим элементом (здесь
ka - кратное).
5. Доказать, что для любых
a,b Z , a  
, существует единственное целое число
n
такое,
что
(n −)a  a  na.
6. Доказать, что поле
Q
не имеет собственных подполей, то есть для любого подполя
P
поля
Q
либо
P =
, либо
P =Q.
7. Доказать, что для любых
aQ, mN, m  
, существует единственное целое число
n ,
для которого
m
n
a
m
n +
  .
8. Доказать, что для любых
aQ, mN, m  
, найдется такое целое число
n
, что
mn  a  (n +)m.
9. Доказать, что рациональное значение корня степени
n
из целого числа является целым
числом.
10. Доказать, что для любых целых чисел
a,b
:
(a  b)(a + b).
11.
(a  b+)(a  b).
12. Доказать неразрешимость в целых числах уравнения:
x = .
13.
x = −.
14.
+ = 
 
x y .
15.
x += y .
16. Решить в целых числах уравнение:
 
x = y .
17.
 + −  = 

x xy .
18.
+  +  = 
 
x x x .
19.
  
(x +) + (x + ) = (x + ) .
20. Доказать, что кольцо
Z - минимальное кольцо, содержащее множество
x N x  .
21. Доказать, что кольцо четных целых чисел является минимальным кольцом, содержащим
число 2.
22. Доказать неразрешимость в поле рациональных чисел уравнения:
= 

x .
23.


=

x .
24.
 = 

x .
25.
+ = 
 
x y .